Persamaan Gerak Harmonik Sederhana

Posted on April 29 by Unknown

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana adalah^[6] :

$Y = A sin \omega\ t$

Keterangan :
Y = simpangan
A = simpangan maksimum (amplitudo)
F = frekuensi
t = waktu

Jika posisi sudut awal adalah $\theta_0$ , maka persamaan gerak harmonik sederhana menjadi ^[6]:

$Y = A sin \omega\ t + \theta_0$

Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana

Dari persamaan gerak harmonik sederhana $Y = A sin \omega\ t$
Kecepatan gerak harmonik sederhana^[6] :
$v = \frac{dy}{dt}$ $(sin A sin \omega\ t)$
$v = A \omega\ cos \omega\ t$
Kecepatan maksimum diperoleh jika nilai $cos \omega\ t = 1$ atau $\omega\ t = 0$ , sehingga : $v maksimum = A \omega$

Kecepatan untuk Berbagai Simpangan

$Y = A sin \omega\ t$
Persamaan tersebut dikuadratkan
$Y^2 = A^2 sin^2 \omega\ t$ , maka^[6] :
$Y^2 = A^2 (1 - COS^2 \omega\ t)$
$Y^2 = A^2 - A^2 COS^2 \omega\ t$ ...(1)
Dari persamaan : $v = A \omega\ cos \omega\ t$
$\frac{v}{\omega} = A cos \omega\ t$ ...(2)
Persamaan (1) dan (2) dikalikan, sehingga didapatkan :
$v^2 = \omega\ (A^2 - Y^2)$

Keterangan :
v =kecepatan benda pada simpangan tertentu
$\omega$ = kecepatan sudut
A = amplitudo
Y = simpangan

Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Dari persamaan kecepatan : $v = A \omega\ cos \omega\ t$ , maka^[6] :
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}$
$a = -A \omega^2\ sin \omega\ t$
Percepatan maksimum jika $\omega\ t = 1$ atau $\omega\ t$ = 90⁰ = $\frac \pi 2$
$a maks = -A \omega^2\ sin \frac \pi 2$
$a maks = -A \omega^2\$

Keterangan :
a maks = percepatan maksimum
A = amplitudo
$\omega$ = kecepatan sudut

Hubungan Gerak Harmonik Sederhana (GHS) dan Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Gerak Melingkar

Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus, memiliki Amplitudo (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki beda fase relatif $\frac{\phi}{2}$ atau kita dapat memandang Gerak Harmonik Sederhana sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan^[7]. Jadi dapat diimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan merupakan Gerak Harmonik Sederhana^[7]. Frekuensi dan periode Gerak Melingkar Beraturan sama dengan Frekuensi dan periode Gerak Harmonik Sederhana yang diproyeksikan^[7].
Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di samping^[7]. Benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, sehingga kecepatan sudutnya bernilai konstan^[7]. Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut dalam Gerak Melingkar Beraturan dinyatakan dengan persamaan^[7] :
$\omega = \frac{v}{\gamma}$
Karena jari-jari (r) pada Gerak Melingkar Beraturan di atas adalah A, maka persamaan ini diubah menjadi :
$\omega = \frac{v}{\gamma}$ , $v = \omega\ A$ ... (1)
Simpangan sudut (teta) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r), dan dinyatakan dengan persamaan :
$\theta = \frac{x}{\gamma} = \frac{vt}{\gamma}$ ... (2), x adalah jarak linear, v adalah kecepatan linear dan t adalah waktu tempuh (x = vt adalah persamaan Gerak Lurus alias Gerak Linear). Kemudian v pada persamaan 2 digantikan dengan v pada persamaan 1 dan jari-jari r digantikan dengan A :
$\theta = \frac{vt}{\gamma}$
$\theta = \omega\ t$
Dengan demikian, simpangan sudut benda relatif terhadap sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
$\theta = \omega\ t + \theta_0$ ... (3) ( $\theta_0$ adalah simpangan waktu pada t = 0})
Pada gambar di atas, posisi benda pada sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
$x = A cos \theta$ ...(4)
$x = A cos (\omega\ t + \theta_0)$
Persamaan posisi benda pada sumbu y :
$y = A sin (\omega\ t + \theta_0)$
Keterangan :
A = amplitudo
$\omega$ = kecepatan sudut
$\theta_0$ = simpangan udut pada saat t = 0

Hal - Hal Menarik

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana