PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas
Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A
x→a
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….
Subtitusi langsung.
Faktorisasi.
Mengalikan dengan bilangan sekawan.
Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a
= A + B
3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a
= A x B
4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3
Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika nm
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a. Lim √ ax +b - √ px +q = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a
p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a
<
m sehingga nilai R = 0 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12
adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 Pembahasan:
Lim 2x2 + 5x – 12 x→-4
3x2 – 13x - 4 = Lim (2x – 3) (x – 4)
x→-4 (3x + 1) (x – 4) = Lim
(2x – 3) x→-4 (3x + 1)
= 2(-4) – 3 = 11 3(-4 ) + 1 13
9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~
4x2 + 7 Pembahasan: Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka 2 = 1 4 2
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus limit fungsi trigonometri 1. Lim
x = 1 diperoleh lim sin x = 1 x→0
sin x x→0 x 2. Lim tan x
= 1 diperoleh lim x = 1 x→0 x
x→0 tan x Akibatnya : 1.
lim sin ax = 1 x→0 ax 2. lim ax = 1 x→0
sin ax 3. lim tan ax = 1 x→0 ax 4. lim ax =
1 x→0 tan ax Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin
3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3 x→0
2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2
2 2. lim 4x = . lim 4 5x
= 4 lim 5x = 4 x→0 tan 5x
x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5 3. lim
sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim
7x x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x
7 x→0 3x x→0 tan 7x
= 3 . 1 . 1
7
= 3
7
4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x) x→0
3x2 x→0 3x2
= lim 2 sin 2x
x→0 3x2 = 2
lim sin x 2 3 x→0
x2 III. Latihan
Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar 1. Nilai
dari Lim x4 – 3x2 + 4x adalah…. x→0 2x3
– x2 - 2x 2. Nilai dari Lim x2 – 4 adalah….
x→2 x2 + x - 6 3. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah ….
x→~ 2x2 – 8x -1 4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6
- √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~ 5. Nilai
dari Lim (8x – 2)2 adalah…. x→~ (4x + 1)2 6.
Nilai dari Lim x2 – x adalah…. x→0 x2 + 2x
7. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x – 1 adalah….
x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 2 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12
adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 9. Nilai dari Lim
2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 7 10. lim 1 –
cos x = … x→0 x tan x 11. lim 4 x cot x adalah …
x→0 3 12. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah … x→0
x IV. . Tes Formatif ( Terlampir) V. Daftar pustaka
Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A
IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008) Tim penyusun KREATIF
Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten,
Viva Pakarindo, 2007) Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta:
Erlangga, 2005) x
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a
= A + B
3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a
= A x B
4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3
Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika nm
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a. Lim √ ax +b - √ px +q = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a
= A + B
3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a
= A x B
4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3
Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika nm
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a. Lim √ ax +b - √ px +q = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a
p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a
<
m sehingga nilai R = 0 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12
adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 Pembahasan:
Lim 2x2 + 5x – 12 x→-4
3x2 – 13x - 4 = Lim (2x – 3) (x – 4)
x→-4 (3x + 1) (x – 4) = Lim
(2x – 3) x→-4 (3x + 1)
= 2(-4) – 3 = 11 3(-4 ) + 1 13
9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~
4x2 + 7 Pembahasan: Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka 2 = 1 4 2
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus limit fungsi trigonometri 1. Lim
x = 1 diperoleh lim sin x = 1 x→0
sin x x→0 x 2. Lim tan x
= 1 diperoleh lim x = 1 x→0 x
x→0 tan x Akibatnya : 1.
lim sin ax = 1 x→0 ax 2. lim ax = 1 x→0
sin ax 3. lim tan ax = 1 x→0 ax 4. lim ax =
1 x→0 tan ax Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin
3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3 x→0
2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2
2 2. lim 4x = . lim 4 5x
= 4 lim 5x = 4 x→0 tan 5x
x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5 3. lim
sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim
7x x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x
7 x→0 3x x→0 tan 7x
= 3 . 1 . 1
7
= 3
7
4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x) x→0
3x2 x→0 3x2
= lim 2 sin 2x
x→0 3x2 = 2
lim sin x 2 3 x→0
x2 III. Latihan
Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar 1. Nilai
dari Lim x4 – 3x2 + 4x adalah…. x→0 2x3
– x2 - 2x 2. Nilai
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a
